Giải mục 1 trang 80, 81 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tại mỗi điểm ${x_0} = 1$ và ${x_0} = 2$, có tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}...

Hoạt động 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{1 + x}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\{5 - x}&{khi\,\,2 < x \le 3}\end{array}} \right.$ có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm ${x_0} = 1$ và ${x_0} = 2$, có tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng $f\left( {{x_0}} \right)$ không?

Bước 1: Tính các giới hạn một bên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)$.

Bước 2: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)$

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right) = L$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$.

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)$ thì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 1 = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 1 = 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {5 - x} \right) = 5 - 2 = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 2 = 3$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3$.

Ta có: $f\left( 2 \right) = 1 + 2 = 3$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.

Thực hành 1

Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left( x \right) = 1 - {x^2}$ tại điểm ${x_0} = 3$;

b) $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 1}&{khi\,\,x > 1}\\{ - x}&{khi\,\,x \le 1}\end{array}} \right.$ tại điểm ${x_0} = 1$.

Bước 1: Kiểm tra ${x_0}$ thuộc tập xác định. Tính $f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ (nếu có).

Bước 3: Kết luận:

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số liên tục tại điểm ${x_0}$.

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)$ hoặc không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ thì hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$.

a) $f\left( 3 \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = - 8$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 3$.

b) $f\left( 1 \right) = - 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x} \right) = - 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$

Vậy hàm số không liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.