Bài 2.16 trang 55 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau và xem nó có phải là...

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$

a) ${u_n} = 5n$

b) ${u_n} = {5^n}$

c) ${u_1} = 1,\;{u_n} = n.{u_{n - 1}}$,

d) ${u_1} = 1,\;{u_n} = 5.{u_{n - 1}}$

Để chứng minh dãy số (${u_n})$ gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}}$ không đổi.

Từ đó, xác định được công bội và số hạng tổng quát ${u_n}$.

a) ${u_1} = 5,\;\;{u_2} = 10,\;\;\;{u_3} = 15,\;\;{u_4} = 20,\;\;\;{u_5} = 25$.

Ta có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{5n}}{{5n - 1}}$phụ thuộc vào n.

Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

b) ${u_1} = 5,\;\;{u_2} = 25,\;\;{u_3} = 125,\;\;\;{u_4} = 625,\;\;\;{u_5} = 3125$.

Ta có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{{5^{n - 1}}}} = 5,\;\forall n \ge 2$.

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q = 5$.

Số hạng tổng quát: ${u_n} = 5 \times {5^{n - 1}}= 5^{n}$.

c) ${u_1} = 1,\;\;\;{u_2} = 2,\;\;\;{u_3} = 6,\;\;\;{u_4} = 24,\;\;\;{u_5} = 120$.

có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = n$ phụ thuộc vào n, $\forall n \in {N^*}$.

Suy ra dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

d) ${u_1} = 1,\;\;{u_2} = 5,\;\;{u_3} = 25,\;\;\;{u_4} = 125,\;\;\;{u_5} = 625$.

Ta có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 5,\;\forall n \ge 2$.

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q = 5$.

Số hạng tổng quát: ${u_n} = {5^{n - 1}}$.