Bài 2.9 trang 51 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau và xét xem nó có phải...

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$

a) ${u_n} = 3 + 5n;$

b) ${u_n} = 6n - 4$;

c) ${u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n - 1}} + n$;

d) ${u_1} = 2,\;{u_n} = {u_{n - 1}} + 3$.

Để chứng minh $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp ${u_n} - {u_{n - 1}}$ không đổi.

Từ đó, xác định được công sai d và số hạng tổng quát.

a) ${u_1} = 8;\;\;\;\;{u_2} = 13;\;\;\;\;\;{u_3} = 18;\;\;\;\;\;{u_4} = 23;\;\;\;\;\;{u_5} = 28$.

Ta có: ${u_n} - {u_{n - 1}} = 3 + 5n - \left[ {3 + 5\left( {n - 1} \right)} \right] = 5,\;\forall n \ge 2$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 8$ và công sai $d = 5$.

Số hạng tổng quát: ${u_n} = 8 + 5\left( {n - 1} \right)$.

b) ${u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 8;\;\;\;\;{u_3} = 14;\;\;\;\;\;{u_4} = 20;\;\;\;\;\;{u_5} = 26$.

Ta có: ${u_n} - {u_{n - 1}} = 6n - 4 - \left[ {6\left( {n - 1} \right) - 4} \right] = 6,\;\forall n \ge 2$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 2$ và công sai $d = 6$.

Số hạng tổng quát: ${u_n} = 2 + 6\left( {n - 1} \right)$.

c) ${u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 4;\;\;\;\;\;{u_3} = 7;\;\;\;\;\;\;{u_4} = 11;\;\;\;\;\;\;\;{u_5} = 16$

Ta có: ${u_n} - {u_{n - 1}} = n,\;$ n biến động.

Suy ra đây không phải là cấp số cộng.

d) ${u_1} = 2;\;\;\;\;{u_2} = 5;\;\;\;\;\;\;{u_3} = 8;\;\;\;\;\;\;{u_4} = 11;\;\;\;\;\;\;\;{u_5} = 14$

Ta có: ${u_n} - {u_{n - 1}} = 3$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${u_1} = 2$ và công sai $d = 3$.

Số hạng tổng quát: ${u_n} = 2 + 3\left( {n - 1} \right),\;\forall n \ge 2$.