Bài 6.12 trang 15 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Tính giá trị của các biểu thức sau: \(A = {\log _2}3. {\log _3}4. {\log _4}5. {\log _5}6. {\log _6}7...

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = {\log _2}3.{\log _3}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8;$

b) $B = {\log _2}2.{\log _2}4...{\log _2}{2^n}.$

Sử dụng công thức ${\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M$ và từ công thức ${\log _a}M = \frac{{{{\log }_b}M}}{{{{\log }_b}a}} \Rightarrow {\log _b}M = {\log _b}a.{\log _a}M$

a)

$A = {\log _2}3.{\log _3}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8$

$= {\log _2}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8$

$= {\log _2}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8$

$= {\log _2}6.{\log _6}7.{\log _7}8 = {\log _2}7.{\log _7}8 = {\log _2}8 = {\log _2}{2^3} = 3$

b)

$B = {\log _2}2.{\log _2}4...{\log _2}{2^n} = {\log _2}2.{\log _2}{2^2}...{\log _2}{2^n} = 1.2...n = n!$