Bài 7.3 trang 30 Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức: Cho tứ diện ABCD có $\widehat {CBD} = {90^0}.$ Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB...

Cho tứ diện ABCD có $\widehat {CBD} = {90^0}.$

a) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN vuông góc BC.

b) Gọi G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD. Chứng minh rằng GK vuông góc với BC.

Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b.

a) Xét tam giác ABD có

M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của tam giác ABD

$\Rightarrow$ MN // BD mà BD $\bot$ BC ($\widehat {CBD} = {90^0}$)

$\Rightarrow$ MN $\bot$ BC.

b) Vì G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD nên $\frac{{CG}}{{CM}} = \frac{{CK}}{{CN}} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow$ GK // MN (Định lý Talet) mà MN $\bot$ BC

$\Rightarrow$ GK $\bot$ BC.