Bài 7.44 trang 65 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, $AB//CD$ và $AB = BC = DA = a$, $CD = 2a$. Biết hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt 2$. Tính theo $a$ khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}h.S$

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Mà $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Kẻ $AK \bot DC$ tại K $\Rightarrow DK = \frac{{DC - AB}}{2} = \frac{a}{2}$

Xét tam giác ADK vuông tại K có

$AK = \sqrt {A{D^2} - D{K^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác AKC vuông tại K có

$AC = \sqrt {A{K^2} + K{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3$

Ta có AB // CD nên $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OA = \frac{1}{3}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác SAO vuông tại O có

$SO = \sqrt {SA{^2} - A{O^2}} = \sqrt {{({a \sqrt 2})^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{3}$

Diện tích đáy ABCD là:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AB+CD).AK = \frac{1}{2} (a+2a).\frac{{a\sqrt {3} }}{2} = \frac {3a^2\sqrt{3}}{4}$

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

$V_{S.ABCD} = \frac {1}{3} .SO.S_{ABCD} = \frac {1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{3}.\frac {3a^2\sqrt{3}}{4} = \frac {a^3\sqrt5}{4}$