Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD)⊥(ABCD).
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
- Thể tích khối chóp V=13h.S
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
a) Trong (SAD) kẻ SE⊥AD
Mà (SAD)⊥(ABCD),(SAD)∩(ABCD)=AD⇒SE⊥(ABCD)
Xét tam giác SAD vuông cân tại S có
SE⊥AD
⇒ E là trung điểm của AD
Advertisements (Quảng cáo)
⇒SE=AD2=a2
Diện tích hình vuông ABCD là SABCD=a2
Thể tích khối chóp là V=13SE.SABCD=13.a2.a2=a36
b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà AB⊥BC⇒EF⊥BC
mà SE⊥BC⇒BC⊥(SEF);BC⊂(SBC)⇒(SEF)⊥(SBC)
(SEF)∩(SBC)=SF
Trong (SEF) kẻ EG⊥SF
⇒EG⊥(SBC)
Ta có AD // BC nên AD // (SBC)
⇒d(AD,SC)=d(AD,(SBC))=d(E,(SBC))=EG
Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a
Xét tam giác SEF vuông tại E có
1EG2=1SE2+1EF2=1(a2)2+1a2=5a2⇒EG=a√55
Vậy d(AD,SC)=a√55