Bài 7.38 trang 65 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a...

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $OA = a,OB = a\sqrt 2$ và $OC = 2a$. Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).

Ta có $OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right);BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC$

Trong (OBC) kẻ $OD \bot BC$

$\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right);BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {OAD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {OAD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AD\end{array}$

Trong (OAD) kẻ $OE \bot AD$

$\Rightarrow OE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OE$

Xét tam giác OBC vuông tại O có

$\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow OD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác OAD vuông tại O có

$\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{4{a^2}}} \Rightarrow OE = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}$

Vậy $d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}$