Bài 7.39 trang 65 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại $A$, tam giác BCD cân tại $D$...

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại $A$, tam giác BCD cân tại $D$. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng $BC \bot (AID)$.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng $AH \bot (BCD)$.

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

- Hai mặt phẳng vuông góc nếu trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc vào giao tuyến thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

- Đường thẳng $\Delta$ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

a) Xét tam giác ABC cân tại A có

I là trung điểm của BC

$\Rightarrow AI \bot BC$

Xét tam giác ACD cân tại D có

I là trung điểm của BC

$\Rightarrow DI \bot BC$

Ta có $AI \bot BC,DI \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {AID} \right)$

b) $BC \bot \left( {AID} \right);BC \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow \left( {BCD} \right) \bot \left( {AID} \right)$

$\left( {BCD} \right) \cap \left( {AID} \right) = DI$

Trong (AID) có $AH \bot DI$

$\Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$

c) Ta có $BC \bot \left( {AID} \right);IJ \subset \left( {AID} \right) \Rightarrow BC \bot IJ$

Mà $IJ \bot AD$

Do đó IJ là đường vuông góc chung của AD và BC