Hoạt động 3
Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai d
Để tính tổng của n số hạng đầu
Sn=u1+u2+…+un−1+un
Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng Sn theo số hạng đầu un và công sai d
b) Viết Sn theo thứ tự ngược lại: Sn=un+un−1+…+u2+u1 và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo u1 và d
c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b) để tính Sntheo u1 và d
Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng Sn, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: un=u1+(n−1)d
Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng Sn
a) u2=u1+d
u3=u1+2d
…
un−1=u1+(n−2)d
Advertisements (Quảng cáo)
un=u1+(n−1)d
Sn=u1+u1+2d+…+u1+(n−2)d+u1+(n−1)d
b) Sn=un+un−1+…+u2+u1=u1+(n−1)d+u1+(n−2)d+…+u1+d+u1
c) 2Sn=(u1+u1+d+…+u1+(n−1)d)+(u1+(n−1)d+u1+(n−2)d+…+u1).
⇒2Sn=n.(2u1+(n−1)d)
⇒Sn=n2(2u1+(n−1)d)
Vận dụng
Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Dựa vào định nghĩa cấp số cộng, ta áp dụng công thức tổng cấp số cộng: Sn=n2[2u1+(n−1)d]
Số tiền lương anh Nam nhận được sau 10 lập thành cấp số cộng với:
Số hạng đầu u1=100 và công sai d=20
Tổng lương anh Nam nhận được sau 10 năm là:
Sn=n2[2u1+(n−1)d]=102[2.100+(10−1).20]=1900(triệu đồng)