Giải mục 3 trang 7, 8 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa ${3^{\sqrt 2 }}$ và \({3^{{r_n}}}...

Hoạt động 5

Ta biết rằng $\sqrt 2$ là một số vô tỉ và $\sqrt 2 = 1,4142135624...$

Gọi $\left( {{r_n}} \right)$ là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt 2 ,$ với ${r_1} = 1;{r_2} = 1,4;{r_3} = 1,41;{r_4} = 1,4142;...$

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: ${3^{{r_1}}};{3^{{r_2}}};{3^{{r_3}}};{3^{{r_4}}}$ và ${3^{\sqrt 2 }}.$

b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa ${3^{\sqrt 2 }}$ và ${3^{{r_n}}},$ tức là $\left| {{3^{\sqrt 2 }} - {3^{{r_n}}}} \right|,$ khi n càng lớn?

Sử dụng máy tính cầm tay.

a) $\begin{array}{l}{3^{{r_1}}} = {3^1} = 3;\\{3^{{r_2}}} = {3^{1,4}} = 4,655536722;\\{3^{{r_3}}} = {3^{1,41}} = 4,706965002;\\{3^{{r_4}}} = {3^{1,4142}} = 4,72873393;\\{3^{\sqrt 2 }} = 4,728804388.\end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l}\left| {{3^{\sqrt 2 }} - {3^{{r_1}}}} \right| = 4,728804388 - 3 = 1,728804388;\\\left| {{3^{\sqrt 2 }} - {3^{{r_2}}}} \right| = 4,728804388 - 4,655536722 = 0,07326766609;\\\left| {{3^{\sqrt 2 }} - {3^{{r_3}}}} \right| = 4,728804388 - 4,706965002 = 0,02183938612;\\\left| {{3^{\sqrt 2 }} - {3^{{r_4}}}} \right| = 4,728804388 - 4,72873393 = 0,0000704576662.\end{array}$

Vậy sai số tuyệt đối giữa ${3^{\sqrt 2 }}$ và ${3^{{r_n}}}$ là giảm dần khi n càng lớn.

Luyện tập 5

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 1}}} \right)}^{1 + \sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 5 - 1}}.{a^{3 - \sqrt 5 }}}}\,\,\,\left( {a > 0} \right).$

Sử dụng công thức ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}};{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$

$A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 1}}} \right)}^{1 + \sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 5 - 1}}.{a^{3 - \sqrt 5 }}}} = \frac{{{a^{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}}}{{{a^{\sqrt 5 - 1 + 3 - \sqrt 5 }}}} = \frac{{{a^1}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{a}.$

Vận dụng

Giải bài toán tình huống mở đầu.

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

Sử dụng công thức lãi kép $A = P{\left( {1 + r} \right)^N}.$

Số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm là: 100.(1 + 6%)³ = 119,1016 (triệu đồng)