Giải mục 4 trang 23, 24 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?...

Hoạt động4

Cho đồ thị của hàm số $y = {\log _2}x$ và y = 2 như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y = {\log _2}x$ nằm phía trên đường thẳng y = 2 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}x > 2.$

Quan sát đồ thị

Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số $y = {\log _2}x$ nằm phía trên đường thẳng y = 2 là $\left( {4; + \infty } \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}x > 2$ là $\left( {4; + \infty } \right)$

Luyện tập4

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log _{\frac{1}{7}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _7}\left( {2 - x} \right);$

b) $2\log \left( {2x + 1} \right) > 3.$

Xét bất phương trình dạng ${\log _a}x > b$

+) a > 1, nghiệm của bất phương trình là $x > {a^b}$

+) 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là $0 < x < {a^b}$

a) ${\log _{\frac{1}{7}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _7}\left( {2 - x} \right)$ (ĐK: $x + 1 > 0;2 - x > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 2$)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{{7^{ - 1}}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _7}\left( {2 - x} \right)\\ \Leftrightarrow - {\log _7}\left( {x + 1} \right) > {\log _7}\left( {2 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _7}{\left( {x + 1} \right)^{ - 1}} > {\log _7}\left( {2 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^{ - 1}} > 2 - x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} - 2 + x > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {x^2} - x - 2}}{{x + 1}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} > 0\end{array}$

Mà – 1 < x < 2 nên x + 1 > 0

$\Leftrightarrow {x^2} - x - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$

KHĐK ta có $\left[ \begin{array}{l} - 1 < x < \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} < x < 2\end{array} \right.$

b) $2\log \left( {2x + 1} \right) > 3$ (ĐK: $2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 1}}{2}$)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log \left( {2x + 1} \right) > \frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2x + 1 > {10^{\frac{3}{2}}} = 10\sqrt {10} \\ \Leftrightarrow x > \frac{{10\sqrt {10} - 1}}{2}\end{array}$

KHĐK ta có $x > \frac{{10\sqrt {10} - 1}}{2}$

Vận dụng

Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:

$\ln \left( {\frac{p}{{100}}} \right) = - \frac{h}{7}.$

(Theo britannica.com)

a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.

b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?

Sử dụng công thức $\ln \left( {\frac{p}{{100}}} \right) = - \frac{h}{7}.$

a) Ở độ cao 4km ta có: $\ln \left( {\frac{p}{{100}}} \right) = - \frac{4}{7} \Leftrightarrow \frac{p}{{100}} = {e^{\frac{{ - 4}}{7}}} \Leftrightarrow p = 56,4718122$

Vậy áp suất khí quyển ở độ cao 4 km là 56,4718122 kPa.

b) Ở độ cao trên 10km ta có:

$h > 10 \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{p}{{100}}} \right) < - \frac{{10}}{7} \Leftrightarrow \frac{p}{{100}} < {e^{\frac{{ - 10}}{7}}} \Leftrightarrow p < 23,96510364$

Vậy ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển bé hơn 29,96510364 kPa.