1, Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ta nói dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim hay {u_n} \to 0 khi n \to + \infty .
Ta nói dãy số \left( {{u_n}} \right) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0, kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a hay {u_n} \to a khi n \to + \infty .
* Chú ý: Nếu {u_n} = c (c là hằng số) thì \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = c
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a, Nếu \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b thì
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)
b, Nếu {u_n} \ge 0 thì với mọi n và \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a thì a \ge 0 và \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a .
Advertisements (Quảng cáo)
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\left( {\left| q \right| < 1} \right)
4. Giới hạn vô cực của dãy số
Dãy số \left( {{u_n}} \right) được gọi là có giới hạn + \infty khi n \to + \infty nếu {u_n} có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty hay {u_n} \to + \infty khi n \to + \infty .
Dãy số \left( {{u_n}} \right) được gọi là có giới hạn - \infty khi n \to + \infty nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty , kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = - \infty hay {u_n} \to - \infty khi n \to + \infty .
*Quy tắc:
Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a và \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = + \infty (hoặc\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = - \infty ) thì \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0.
Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a > 0 và \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = 0,\forall n thì \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = + \infty .
Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {v_n} = a > 0 và \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = + \infty thì \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n}.{v_n}) = + \infty .