Chứng minh rằng :
a. Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – x + 3\,\text {và }\,g\left( x \right) = {{{x^3} – 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\).
b. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} – 3x + 2} \over {x – 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\)
liên tục tại điểm \(x = 2\)
c. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} – 1} \over {x – 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\)
gián đoạn tại điểm \(x = 1\)
a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – x + 3\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} – x + 3} \right) = x_0^3 – {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).
Advertisements (Quảng cáo)
Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định \(D=\mathbb R\).
b. Với mọi \(x ≠ 2\), ta có:
\(f\left( x \right) = {{{x^2} – 3x + 2} \over {x – 2}} = {{\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \over {x – 2}} = x – 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm \(x = 2\)
c) Với mọi \(x ≠ 1\), ta có:
\(f(x) = {{{x^3} – 1} \over {x – 1}} = {x^2} + x + 1\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\)
Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 1\)