Câu 4.63 trang 145 SBT Toán Đại số lớp 11 Nâng cao: Chứng minh...

Cho hàm số $f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {0;1} \right]$ liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực $c \in \left[ {0;1} \right]$ sao cho $f\left( c \right) = c.$

Giải          

Nếu $f\left( 0\right) = 0$ hoặc $f\left( 1 \right) = 1$ thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng.

Giả sử $f\left( 0 \right) \ne 0$ và $f\left( 1 \right) \ne 1.$ Xét hàm số $g\left( x \right) = f\left( x \right) - x,x \in \left[ {0;1} \right].$  Hàm số $g$  liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right].$ Vì mọi $x \in \left[ {0;1} \right],0 \le f\left( x \right) \le 1$ nên $f\left( 0 \right) > 0$  và $f\left( 1 \right) < 1.$ Do đó

$g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - 0 > 0$  và $g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - 1 < 0.$

Vì $g\left( 0 \right),g\left( 1 \right) < 1$ nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực $c \in \left( {0;1} \right)$ sao cho $g\left( c \right) = f\left( c \right) - c = 0,$ tức là $f\left( c \right) = c.$