Chứng minh rằng :
a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – {x^2} + 2\) liên tục trên \(\mathbb R\)
b. Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 – {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;
c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 – 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2 ; 2];
d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x – 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – {x^2} + 2\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} – {x^2} + 2} \right) = x_0^4 – x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên \(\mathbb R\).
b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :
\(1 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow – 1 < x < 1\)
Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)
Với mọi x0ϵ (-1 ; 1), ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 – {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 – x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng (-1 ; 1)
c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 – 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]
Với mọi \({x_0} \in \left( { – 2;2} \right)\) , ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 – 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 – 2{{\left( { – 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { – 2} \right)\)
và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ – }} = \sqrt {8 – {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\)
Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]
d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x – 1} \) xác định trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x – 1} = \sqrt {2{x_0} – 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Mặt khác ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x – 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)
Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)