Câu 4.67 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm...

Chứng minh rằng phương trình

                         ${x^3} + 1000{x^2} + 0,1 = 0$

Có ít nhất một nghiệm âm.

Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 1000{x^2} + 0,1$  liên tục trên R. Ta có $f\left( 0 \right) = 0,1 > 0.$  Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty$  nên tồn tại một số âm a sao cho $f\left( a \right) < 0.$ Vì $f\left( 0 \right)f\left( a \right) < 0$  nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực $c \in \left( {a;0} \right)$  sao cho $f\left( c \right) = 0.$  Số $x = c$ là một nghiệm âm của phương trình đã cho.