Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng...

Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Chứng minh rằng...

Chứng minh rằng :. Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Bài 8. Hàm số liên tục

Advertisements (Quảng cáo)

Chứng minh rằng :

a. Hàm số

\(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\,\text{ với }\,x \le 0} \cr {{x^2} + 2\,\text{ với }\,x > 0} \cr} } \right.\)

Gián đoạn tại điểm x = 0

b. Mỗi hàm số

\(g\left( x \right) = \sqrt {x – 3} \,\text{ và }\,h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x – 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { – {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} } \right.\)

liên tục trên tập xác định của nó.

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \cr} \)

Suy ra hàm số f gián đoạn tại \(x = 0\)

b. Tập xác định của hàm số  \(g\left( x \right) = \sqrt {x – 3} \) là \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

Advertisements (Quảng cáo)

Với x0> 3 ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x – 3} = \sqrt {{x_0} – 3} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Nên g liên tục trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right),\) ngoài ra :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x – 3} = 0 = g\left( 3 \right)\)

Vậy g liên tục trên  \(\left[ {3; + \infty } \right)\)

*Tập xác định của hàm số 

\(h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x – 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { – {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} \,\text{ là }\,\mathbb R} \right.\)

Rõ ràng h liên tục trên \((-∞; 1)\) và trên \((1 ; +∞)\) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức)

Tại x0 = 1 ta có :

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {1 \over {x – 2}} = – 1;\cr &\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{ – 1} \over x} = – 1 \cr
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) \cr &\Rightarrow h\,\text{ liên tục tại }x = 1 \cr} \)

Vậy h liên tục trên \(\mathbb R\).