Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 51 trang 175 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao,...

Câu 51 trang 175 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải thích vì sao...

Giải thích vì sao :. Câu 51 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 8. Hàm số liên tục

Giải thích vì sao :

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\sin x - 2{\cos ^2}x + 3\) liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Hàm số \(g\left( x \right) = {{{x^3} + x\cos x + \sin x} \over {2\sin x + 3}}\) liên tục trên \(\mathbb R\)

c. Hàm số \(h\left( x \right) = {{\left( {2x + 1} \right)\sin x - {{\cos }^3}x} \over {x\sin x}}\) liên tục tại mọi điểm \(x ≠ kπ, k \in\mathbb Z\).

a. Với mọi \(x_0\in \mathbb R\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^2} = x_0^2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}\sin x= \sin {x_0}\)

\(\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

(vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R)

Do đó :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 2co{s^2}x + 3} \right) \)

\(= x_0^2\sin {x_0} - 2{\cos ^2}{x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Advertisements (Quảng cáo)

Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Tập xác định của g là \(\mathbb R\)

Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^3} = x_0^3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\)

Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = {{x_0^3 + {x_0}\cos {x_0} + \sin {x_0}} \over {2\sin {x_0} + 3}} = g\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số g liên tục tại mọi \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó g liên tục trên \(\mathbb R\).

c. Tương tự b, \(∀ x_0 ≠ kπ, k \in\mathbb Z\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = {{\left( {2{x_0} + 1} \right)\sin {x_0} - {{\cos }^3}{x_0}} \over {{x_0}\sin {x_0}}} = h\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số h liên tục tại mọi \(x_0\in\mathbb R\).

Do đó h liên tục trên \(\mathbb R\).

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)