Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Nâng cao Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao, Cho hình...

Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao, Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB =...

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.. Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao – Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.

Ta có: \(\overrightarrow {SA}  = a\overrightarrow {SA’} ,\;\overrightarrow {SB}  = b\overrightarrow {SB’} ,\;\overrightarrow {SC}  = c\overrightarrow {SC} .\)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SG}  = {1 \over 3}.\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right)  \cr  & Vay\,\overrightarrow {SG}  = {a \over 3}\overrightarrow {SA’}  + {b \over 3}\overrightarrow {SB’}  + {c \over 3}\overrightarrow {SC’}  \cr} \)

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \({a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1\) , tức là: a + b + c = 3.