Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 14 trang 115 SBT Hình 11 nâng cao: Cho tứ diện...

Câu 14 trang 115 SBT Hình 11 nâng cao: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P. Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho...

Câu 14 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có số x, y sao cho. Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P. Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

\(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BN}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BC},\)

\(\overrightarrow {AQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} ,\overrightarrow {DP}  = k\overrightarrow {DC}. \)

Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.

Cách 1

Từ \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)  ta có \(\overrightarrow {BM}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BA} \) , mặt khác \(\overrightarrow {BN}  = {2 \over 3}\overrightarrow {BC} \) nên MN // AC.

Nếu có k để các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng thì mp(MNQ) cắt mp(ACD) theo giao tuyến PQ nên PQ // AC.

Mặt khác \(\overrightarrow {AQ}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A{\rm{D}}} \) nên \(\overrightarrow {DP}  = {1 \over 2}\overrightarrow {DC} \).

Vậy \(k = {1 \over 2}\) thì các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2:

Đặt \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow c \) .

Khi đó \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow c  - \overrightarrow b ,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow a \).

Do \(\overrightarrow {AM}  = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \)

Advertisements (Quảng cáo)

nên

$$\eqalign{
& \overrightarrow {AM} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right) = - {1 \over 3}\overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b \cr

& \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + {2 \over 3}\left( {\overrightarrow c - \overrightarrow b } \right) \cr

& = - \overrightarrow a + {1 \over 3}\overrightarrow b + {2 \over 3}\overrightarrow c \cr

& \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {DP} = - \overrightarrow a + k\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow a + k\overrightarrow c \cr

& \overrightarrow {AQ} = - {1 \over 2}\overrightarrow a \cr} $$

Khi đó

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  =  - {2 \over 3}\overrightarrow a  + {2 \over 3}\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {MP}  =  - {2 \over 3}\overrightarrow a  - {1 \over 3}\overrightarrow b  + k\overrightarrow c   \cr  & \overrightarrow {MQ}  =  - {1 \over 6}\overrightarrow a  - {1 \over 3}\overrightarrow b  \cr} \)

Các điểm M, N, P, Q thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có số x, y sao cho

\(\eqalign{& \overrightarrow {MP} = x\overrightarrow {MN} + y\overrightarrow {MQ} \cr & \Leftrightarrow - {2 \over 3}\overrightarrow a - {1 \over 3}\overrightarrow b + k\overrightarrow c \cr & = - {2 \over 3}x\overrightarrow a + {2 \over 3}x\overrightarrow c - {1 \over 6}y\overrightarrow a - {1 \over 3}y\overrightarrow b \cr} \)

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)  không đồng phẳng nên điều đó tương đương với:

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{   - {2 \over 3}x - {1 \over 6}y =  - {2 \over 3} \hfill \cr   - {1 \over 3}y =  - {1 \over 3} \hfill \cr  {2 \over 3}x = k \hfill \cr}  \right.  \cr  &  \Rightarrow y = 1,x = {3 \over 4},k = {1 \over 2} \cr} \)

Vậy khi \(k = {1 \over 2}\)  thì các điểm M, N, P, Q thuộc cùng một mặt phẳng.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)