Câu 12 trang 115 SBT Hình 11 nâng cao: Theo giả thiết, ta có:...

Cho hai đường thẳng ∆, ∆₁ cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A₁, B₁, C₁. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt $\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {OJ}  = \overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {C{C_1}}$ . Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Theo giả thiết, ta có:

$\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {A{A_1}} ,\overrightarrow {OJ}  = \overrightarrow {B{B_1}} ,\overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {C{C_1}}$ .

Do (α), (β), (γ) song song với  nhau, hai đường thẳng ∆, ∆₁ cắt chúng lần lượt tại A, B, C và A₁, B₁, C₁ nên theo định lí Ta-lét, ta có:

$\overrightarrow {BA}  = k\overrightarrow {BC}$  và $\overrightarrow {{B_1}{A_1}}  = k\overrightarrow {{B_1}{C_1}}$

Từ $\overrightarrow {BA}  = k\overrightarrow {BC}$  nên với điểm O, ta có:

$\overrightarrow {OB}  = {{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OC} } \over {1 - k}}$

Tương tự, ta cũng có:

$\overrightarrow {O{B_1}}  = {{\overrightarrow {O{A_1}}  - k\overrightarrow {O{C_1}} } \over {1 - k}}$

Từ đó: $\overrightarrow {B{B_1}}  = \overrightarrow {O{B_1}}  - \overrightarrow {OB}  = {{\overrightarrow {A{A_1}} } \over {1 - k}} - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {C{C_1}}$

hay $\overrightarrow {OJ}  = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {OI}  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {OK}$

Lấy O trùng với I, ta có $\overrightarrow {IJ}  =  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {IK}$

Như vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.