Bài 2 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11: Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm...

2. Tính $∆y$ và ${{\Delta y} \over {\Delta x}}$ của các hàm số sau theo $x$ và $∆x$ :

a) $y = 2x - 5$;                                           b) $y = x^2- 1$;

c) $y = 2x^3$;                                               d) $y = {1 \over x}$.

a) $∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x+∆x) - 5 - (2x - 5) = 2∆x$ và ${{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x} \over {\Delta x}} = 2$.

b) $\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x) = {(x + \Delta x)^2} - 1 - ({x^2} - 1)$

$= 2x.\Delta x + {(\Delta x)^2} = \Delta x(2x + \Delta x)$  và  ${{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{\Delta x\left( {2{\rm{x}} + \Delta x} \right)} \over {\Delta x}} = 2{\rm{x + }}\Delta {\rm{x}}$

c) $∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x +  ∆x)^3- 2x^3$= $6{x^2}\Delta x + 6x{(\Delta x)^2} + 2{(\Delta x)^3} = 2\Delta x.(3{x^2} + 3x\Delta x + {(\Delta x)^2})$ và ${{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x\left[ {3{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}\Delta x +  \Delta {x^2}} \right]} \over {\Delta x}}$ $= 6x^2+ 6x∆x + 2(∆x)^2$.

d) $∆y = f(x+∆x) - f(x) =$$-{1 \over x} + {1 \over {x +\Delta x}} = {{x - \Delta x - x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}} =  - {{\Delta x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}}$

${{\Delta y} \over {\Delta x}} = {1 \over {\left( {x + \Delta x} \right)x}}$