Bài 5 trang 92 sgk Toán 11: Bài 2. Dãy số...

Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) $u_n= 2n^2-1$;                     b) $u_n=\frac{1}{n(n+2)}$

c) $u_n= \frac{1}{2n^{2}-1}$;                        d) $u_n= sinn + cosn$
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số bị chặn dưới vì $u_n= 2n^2-1≥ 1$ với mọi $n \in {\mathbb N}^*$  và không bị chặn trên vì với số $M$ dương lớn bất kì, ta có $2n^2-1 > M \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{M+1}{2}}$.
tức là luôn tồn tại $n ≥   \left [ \sqrt{\frac{M+1}{2}} \right ] + 1$ để  $2 n^{2}- 1 > M$
b) Dễ thấy $u_n > 0$ với mọi $n \in {\mathbb N}^*$  
Mặt khác, vì $n ≥ 1$ nên $n^2≥ 1$ và $2n ≥ 2$.
Do đó $n(n + 2) =  n^2+ 2n ≥ 3$, suy ra $\frac{1}{n(n+2)}$ $\leq \frac{1}{3}$.
Vậy dãy số bị chặn $0 < u_n$ $\leq \frac{1}{3}$ với mọi  $n \in {\mathbb N}^*$  
c) Vì $n ≥ 1$ nên $2n^2- 1 > 0$, suy ra $\frac{1}{2n^{2}-1} > 0$
Mặt khác $n^2 ≥ 1$ nên $2n^2≥ 2$ hay $2n^2- 1≥ 1$, suy ra $u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1} ≤ 1$. 
Vậy $0 < u_n ≤ 1$, với mọi $n \in {\mathbb N}^*$, tức dãy số bị chặn.
d) Ta có: $sinn + cosn = \sqrt 2sin(n +  \frac{\pi }{4})$, với mọi $n$. Do đó:
$-\sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt2$ với mọi $n \in {\mathbb N}^*$
Vậy $-\sqrt 2  < u_n< \sqrt 2$, với mọi $n \in {\mathbb N}^*$.