Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 Câu hỏi 6 trang 90 Đại số và Giải tích lớp 11:...

Câu hỏi 6 trang 90 Đại số và Giải tích lớp 11: Bài 2. Dãy số...

Câu hỏi 6 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi n∈N*. Bài 2. Dãy số

Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi n∈N*

Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với \(0\).

\(\eqalign{
& {{{n^2}} \over {{n^2} + 1}} – {1 \over 2} = {{2n – ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} = {{ – {{(n – 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& \Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} < {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} – 1 = {{{n^2} + 1 – 2n} \over {2n}} = {{{{(n – 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr
& \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr} \)

Mục lục môn Toán 11