Câu hỏi 6 trang 90 Đại số và Giải tích lớp 11: Bài 2. Dãy số...

Chứng minh các bất đẳng thức $\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1$ với mọi n∈N*

Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với $0$.

$\eqalign{ & {{{n^2}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} = {{ - {{(n - 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr & \Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} < {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr & {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} = {{{{(n - 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr}$