Bài 6 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm...

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol $y =  \frac{1}{x}$:

a) Tại điểm $(  \frac{1}{2} ; 2)$

b) Tại điểm có hoành độ bằng $-1$;

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -$\frac{1}{4}$.

Bằng định nghĩa ta tính được $y’ = - \frac{1}{x^{2}}$.

a) $y’  \left ( \frac{1}{2} \right )= -4$. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-4$. Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm $(  \frac{1}{2} ; 2)$ là $y - 2 = -4(x -  \frac{1}{2})$ hay $y = -4x + 4$.

b) $y’ (-1) = -1$. Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-1$. Ngoài ra, ta có $y(-1) = -1$. Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là $-1$ là $y - (-1) = -[x - (-1)]$ hay $y = -x - 2$.

c) Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm. Ta có

$y’ (x_0) = -  \frac{1}{4} \Leftrightarrow -  \frac{1}{x_{0}^{2}} = -  \frac{1}{4}$$\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}=  ±2$.

Với $x_{0}= 2$ ta có $y(2) =  \frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là

     $y -  \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}(x - 2)$ hay $y =  \frac{1}{4}x + 1$.

Với $x_{0} = -2$ ta có $y (-2) = - \frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là

    $y -  \left ( -\frac{1}{2} \right ) = - \frac{1}{4}[x - (-2)]$ hay $y = -  \frac{1}{4}x -1$