Câu 13 trang 108 Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân...

Bài 13. Chứng minh rằng nếu các số ${a^2},{b^2},{c^2}$ lập thành một cấp số cộng $(abc ≠ 0)$ thì các số ${1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}$ cũng lập thành một cấp số cộng.

Ta phải chứng minh: ${1 \over {b + c}} + {1 \over {a + b}} = {2 \over {c + a}}$ (1)

Biến đổi:

$\eqalign{ & (1) \Leftrightarrow {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr & \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr & \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr}$

Vậy (1) đúng vì $a^2,b^2,c^2$ lập thành cấp số cộng.

Vậy ${1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}$ là cấp số cộng.