Câu 5 trang 107 Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân...

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi $n\in {\mathbb N}^*$, ta có:

a) $13^n-1$ chia hết cho $6$

b) $3n^3+ 15n$ chia hết cho $9$

a) Với $n = 1$, ta có:

$13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6$

Giả sử: $13^k- 1$ $⋮$ $6$ với mọi $k ≥ 1$

Ta chứng minh: $13^{k+1}– 1$ chia hết cho $6$

Thật vậy:

${13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1$

Vì : $12.13^k$ $⋮$ $6$ và $13^k– 1$ $⋮$ $6$ (theo giả thiết quy nạp)

Nên : $13^{k+1}– 1$ $⋮$ $6$

Vậy $13^n-1$ chia hết cho $6$

b) Với $n = 1$, ta có: $3.1^3+ 15.1 = 18$ $⋮$ $9$

Giả sử:  $3k^3+ 15k$ $⋮$ $9$. Ta chứng minh: $3(k + 1)^3+ 15(k + 1)$ $⋮$ $9$

Thật vậy:

$3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) = 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)$

$= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18$

$= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)$

Vì $3k^3 + 15k$ $⋮$ $9$ (theo giả thiết quy nạp) và $9(k^2+ k + 2)$ $⋮$ $9$

Nên: $3(k + 1)^3+ 15(k + 1)$ $⋮$ $9$

Vậy: $3n^3+ 15n$ chia hết cho $9$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$