Câu 7 trang 107 Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân...

Bài 7. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số $(u_n)$, biết:

a) ${u_n} = n + {1 \over n}$

b) ${u_n} = {( - 1)^n}\sin {1 \over n}$

c) ${u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n$

Xét hiệu:

$\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = (n + 1 + {1 \over {n + 1}}) - (n + {1 \over n}) = 1 + {1 \over {n + 1}} - {1 \over n} \cr & = {{{n^2} + n - 1} \over {n(n + 1)}} > 0,\forall n \in {N^*} \cr}$

 Suy ra: $u_n$ là dãy số tăng                                     (1)

Mặt khác: ${u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}$

Nên $u_n$ là dãy số bị chặn dưới                             (2)

Ta thấy khi $n$ càng lớn thì $u_n$ càng lớn nên $u_n$ là dãy số không bị chặn trên                                                (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $u_n$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có:

 $u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0$

$\eqalign{ & {u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr & {u_3} = {( - 1)^2}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr}$

$⇒ u_1> u_2$ và $u_2< u_3$

Vậy $u_n$ là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:

$\eqalign{ & |{u_n}| = |{( - 1)^{n - 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr & \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1 \cr}$

Vậy $u_n$ là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c) Ta có:

${u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}$

Xét hiệu:

$\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr & = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr}$ 

Ta có:

$\left\{ \matrix{ \sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr \sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n$

 $\Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0$

⇒ u_n là dãy số giảm                                            (1)

Mặt khác:

${u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*$

Suy ra: u_n là dãy số bị chặn dưới                         (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì $\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1$

Nên ${u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}$

Suy ra: $u_n$ là dãy số bị chặn trên                            (3)

Từ (1), (2) và (3)  ta có: $u_n$ là dãy số giảm và bị chặn