Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 (sách cũ) Câu 7 trang 107 Đại số và giải tích 11: Ôn tập...

Câu 7 trang 107 Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân...

Câu 7 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11: Ôn tập Chương III - Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

Bài 7. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \((u_n)\), biết:

a) \({u_n} = n + {1 \over n}\)

b) \({u_n} = {( - 1)^n}\sin {1 \over n}\)

c) \({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)

Xét hiệu:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = (n + 1 + {1 \over {n + 1}}) - (n + {1 \over n}) = 1 + {1 \over {n + 1}} - {1 \over n} \cr
& = {{{n^2} + n - 1} \over {n(n + 1)}} > 0,\forall n \in {N^*} \cr} \)

 Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng                                     (1)

Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}\)

Nên \(u_n\) là dãy số bị chặn dưới                             (2)

Ta thấy khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên                                                (3)

Từ (1), (2), (3) ta có \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

b) Ta có:

 \(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0\)

\(\eqalign{
& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr
& {u_3} = {( - 1)^2}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \)

\(⇒ u_1> u_2\) và \(u_2< u_3\)

Vậy \(u_n\) là dãy số tăng không đơn điệu.

Ta lại có:

Advertisements (Quảng cáo)

\(\eqalign{
& |{u_n}| = |{( - 1)^{n - 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr
& \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1 \cr} \)

Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn và không đơn điệu.

c) Ta có:

\({u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\)

Xét hiệu:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \) 

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)

 \( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)

⇒ un là dãy số giảm                                            (1)

Mặt khác:

\({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*\)

Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới                         (2)

Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)

Nên \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên                            (3)

Từ (1), (2) và (3)  ta có: \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)