Cho hình thang cân có đáy nhỏ và hai cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn nhất của hình thang cân đó.
Sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tính diện tích \(S\left( x \right)\), sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( x \right)\).
Xét hình thang cân \(ABCD\) có đáy nhỏ \(AB\), gọi \(H,K\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ \(A\) và \(B\) xuống \(CD\).
Ta có:
\(C{\rm{D}} = 5 + 2{\rm{x}},AH = \sqrt {A{{\rm{D}}^2} - D{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {x^2}} = \sqrt {25 - {x^2}} \)
Diện tích hình thang là:
Advertisements (Quảng cáo)
\(S = \frac{1}{2}\left( {AB + C{\rm{D}}} \right).AH = \frac{1}{2}\left( {5 + 5 + 2{\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} = \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} \)
Do \(DH
Xét hàm số \(S\left( x \right) = \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\sqrt {25 - {x^2}} \) trên nửa khoảng \(\left[ {0;5} \right)\).
Ta có:
\(S’\left( x \right) = {\left( {5 + {\rm{x}}} \right)^\prime }.\sqrt {25 - {x^2}} + \left( {5 + {\rm{x}}} \right).{\left( {\sqrt {25 - {x^2}} } \right)^\prime } = \sqrt {25 - {x^2}} + \left( {5 + {\rm{x}}} \right).\frac{{ - {\rm{x}}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} - 5x + 25}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)
\(S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x = - 5\) (loại)
Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {0;5} \right)\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right)} S\left( x \right) = S\left( {\frac{5}{2}} \right) = \frac{{75\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy hình thang cân \(ABCD\) có diện tích lớn nhất bằng \(\frac{{75\sqrt 3 }}{4}\).