Bài 9 trang 18 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính 1 cm...

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, bán kính 1 cm. Đặt \(\widehat A = \alpha \left( {0

a) Viết biểu thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $\alpha$.

b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính diện tích $S\left( \alpha \right)$, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số $S\left( \alpha \right)$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$.

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có:

$\widehat {MOC} = 2\widehat {OAC} = \widehat {BAC} = \alpha$.

Do đó: $AM = AO + OM = 1 + \cos \alpha ,BC = 2MC = 2\sin a$.

Suy ra:

$\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}AM.BC = \frac{1}{2}2\sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right) = \sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right)\\ = \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha \end{array}$

b) Xét hàm số $S\left( \alpha \right) = \sin \alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$.

Ta có: $S’\left( \alpha \right) = \cos \alpha + \frac{1}{2}.2\cos 2\alpha = \cos \alpha + \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha + \cos \alpha - 1$

$S’\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}$ hoặc $\cos \alpha = - 1$

$\alpha = \frac{\pi }{3}$ hoặc $\alpha = \pi$ (loại)

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\pi } \right)} S\left( \alpha \right) = S\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

Vậy tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất bằng $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)$.