Bài 12 trang 12 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho điểm (A) di động trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính (MN = 20{rm{ }}cm...

Cho điểm $A$ di động trên nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $MN = 20{\rm{ }}cm,\widehat {MOA} = \alpha$ với $0 \le \alpha \le \pi$. Lấy điểm $B$ thuộc nửa đường tròn và $C,D$ thuộc đường kính $MN$ được xác định sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi $A$ di động từ trái sang phải, trong các khoảng nào của $\alpha$ thì diện tích của hình chữ nhật $ABCD$ tăng, trong các khoảng nào của $\alpha$ thì diện tích của hình chữ nhật $ABCD$ giảm?

Lập hàm số $y = f\left( \alpha \right)$ trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$, lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ta có: $A{\rm{D}} = OA\sin \alpha = 10\sin \alpha ;O{\rm{D}} = OA\cos \alpha = 10\cos \alpha ;C{\rm{D}} = 2{\rm{OD}} = 20\cos \alpha$.

Diện tích hình chữ nhật là: $AD.C{\rm{D}} = 10\sin \alpha .20\cos \alpha = 200\sin \alpha \cos \alpha = 100\sin 2\alpha$.

Xét hàm số $f\left( \alpha \right) = 100\sin 2\alpha$ trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$.

Ta có:

$f’\left( \alpha \right) = 200\cos 2\alpha ;f’\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{4}$ hoặc $\alpha = \frac{{3\pi }}{4}$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$ và $\left( {\frac{{3\pi }}{4};\pi } \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)$.

Vậy diện tích hình chữ nhật tăng trên các khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$ và $\left( {\frac{{3\pi }}{4};\pi } \right)$, diện tích hình chữ nhật giảm trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)$.