Bài 14 trang 80 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho ba điểm A 2; - 1;3, B 4;0;1 và C - 10;5;3...

Cho ba điểm $A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {4;0;1} \right)$ và $C\left( { - 10;5;3} \right)$. Đường phân giác trong của góc $B$ của tam giác $ABC$ cắt $BC$ tại ${\rm{D}}$. Tính $BD$.

Sử dụng tính chất đường phân giác: ${\rm{D}}$ là chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$ thì $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}$ và $D \in AC$.

$BA = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 3;BC = \sqrt {{{\left( { - 10 - 4} \right)}^2} + {{\left( {5 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 15$

Gọi ${\rm{D}}\left( {x;y;z} \right)$ là chân đường phân giác trong góc $B$. Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{3}{{15}} = \frac{1}{5} \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow {DC} \\\overrightarrow {DA} = \left( {2 - x; - 1 - y;3 - z} \right);\overrightarrow {DC} = \left( { - 10 - x;5 - y;3 - z} \right)\\\overrightarrow {DA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x = - \frac{1}{5}\left( { - 10 - x} \right)\\ - 1 - y = - \frac{1}{5}\left( {5 - y} \right)\\3 - z = - \frac{1}{5}\left( {3 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $D\left( {0;0;3} \right),BD = \sqrt {{{\left( {0 - 4} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$