Bài 12 trang 80 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho sáu điểm A 1;2;3, B 2; - 1;1, C 3;3; - 3 và A’, B’...

Cho sáu điểm $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {2; - 1;1} \right),C\left( {3;3; - 3} \right)$ và $A’,B’,C’$ thoả mãn $\overrightarrow {A’A} + \overrightarrow {B’B} + \overrightarrow {C’C} = \overrightarrow 0$. Tìm toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $A’B’C’$.

‒ Sử dụng tính chất trọng tâm: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

‒ Sử dụng công thức toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:

$G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$.

$G$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$ nên ta có $\overrightarrow {GA’} + \overrightarrow {GB’} + \overrightarrow {GC’} = \overrightarrow 0$ hay $\overrightarrow {A’G} + \overrightarrow {B’G} + \overrightarrow {C’G} = \overrightarrow 0$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {A’A} + \overrightarrow {B’B} + \overrightarrow {C’C} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {A’G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {B’G} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {C’G} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {A’G} + \overrightarrow {B’G} + \overrightarrow {C’G} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \end{array}$

Do đó, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Vậy $G\left( {\frac{{1 + 2 + 3}}{3};\frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 3}}{3};\frac{{3 + 1 + \left( { - 3} \right)}}{3}} \right)$ hay $G\left( {2;\frac{4}{3};\frac{1}{3}} \right)$.