Bài 15 trang 81 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Cho ba điểm A 1;1;1, B - 1;1;0 và C 3;1; - 1...

Cho ba điểm $A\left( {1;1;1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right)$ và $C\left( {3;1; - 1} \right)$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ và cách đều ba điểm $A,B,C$. Tính tổng $a + b + c$.

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB$:

$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

Vì $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ nên $y = 0$.

$\begin{array}{l}AM = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2} + 1} \\BM = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {z^2} + 1} \\CM = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2} + 1} \end{array}$

$M$ cách đều ba điểm $A,B,C$ nên $AM = BM = CM$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = BM\\BM = CM\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 1} \right)}^2} + 1} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {z^2} + 1} \\\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {z^2} + 1} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {z + 1} \right)}^2} + 1} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} + {z^2} + 1\\{\left( {x + 1} \right)^2} + {z^2} + 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x - 2{\rm{z}} = - 1\\8{\rm{x}} - 2{\rm{z}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{6}\\z = - \frac{7}{6}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $M\left( {\frac{5}{6};0; - \frac{7}{6}} \right)$.