Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\);
b) \(y = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\);
c) \(y = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\);
d) \(y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó \(f’\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).
Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
a) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9}}{{2{\rm{x}} - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right){{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {8{\rm{x}} - 2} \right)\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {4{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 9} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{8{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} - 16}}{{{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 1\) (loại).
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\):
Advertisements (Quảng cáo)
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
b) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2}}{{2{\rm{x}} + 1}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{\rm{x}}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 4}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{2}}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)\\\end{array}\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 1\) (loại).
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 2\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
c) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7}}{{3{\rm{x}} - 1}}\) trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right)}^\prime }\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right){{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {18{\rm{x}} + 3} \right)\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) - \left( {9{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 7} \right).3}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{27{{\rm{x}}^2} - 18{\rm{x}} - 24}}{{{{\left( {3{\rm{x}} - 1} \right)}^2}}}\\\end{array}\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\) hoặc \(x = - \frac{2}{3}\) (loại).
Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3};5} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{3}} \right) = 9\), hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right]\).
d) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3}}{{2{\rm{x}} + 5}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;4} \right]\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f’\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right)}^\prime }\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right){{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {4{\rm{x}} + 3} \right)\left( {2{\rm{x}} + 5} \right) - \left( {2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3} \right).2}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}} = \frac{{4{{\rm{x}}^2} + 20{\rm{x}} + 21}}{{{{\left( {2{\rm{x}} + 5} \right)}^2}}}\\\end{array}\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}\) hoặc \(x = - \frac{7}{2}\) (loại).
\(f\left( { - 2} \right) = \frac{{11}}{9};f\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{3}{2};f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}}\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{41}}{{13}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{3}{2}} \right) = - \frac{3}{2}\).