Bài 8 trang 11 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng: Phương trình x^3 + 5x^2 - 8x + 4 = 0 có duy nhất một nghiệm...

Chứng minh rằng:

a) Phương trình ${x^3} + 5{x^2} - 8{\rm{x}} + 4 = 0$ có duy nhất một nghiệm.

b) Phương trình $- {x^3} + 3{x^2} + 24x - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $y = f\left( x \right)$, lập bảng biến thiên, xem xét giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng $y = 0$ và kết luận.

a) Đặt $y = {x^3} + 5{x^2} - 8{\rm{x}} + 4$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y’ = 3{x^2} + 10x - 8;y’ = 0 \Leftrightarrow x = - 4$ hoặc ${\rm{x}} = \frac{2}{3}$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biển thiên, ta thấy đường thẳng $y = 0$ giao với đồ thị của hàm số tại đúng một điểm trong khoảng $\left( { - \infty ; - 4} \right)$. Do đó phương trình ${x^3} + 5{x^2} - 8{\rm{x}} + 4 = 0$ có duy nhất một nghiệm.

b) Đặt $y = - {x^3} + 3{x^2} + 24x - 1$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y’ = - 3{x^2} + 6x + 24;y’ = 0 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc ${\rm{x}} = - 2$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biển thiên, ta thấy đường thẳng $y = 0$ giao với đồ thị của hàm số tại ba điểm phân biệt. Do đó phương trình $- {x^3} + 3{x^2} + 24x - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.