Bài 7 trang 11 SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng tan x > x với mọi x ∈ 0;π /2 ; ln x ≤ x...

Chứng minh rằng

a) $\tan x > x$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$;

b) $\ln x \le x - 1$ với mọi $x > 0$.

Đưa về xét hàm số, lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng.

a) Đặt $f\left( x \right) = \tan x - x$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Ta có $f’\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 = \frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x > 0$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Bảng biến thiên:

Do đó $f’\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Suy ra $\tan x - x > 0$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

Vậy $\tan x > x$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

b) Đặt $f\left( x \right) = \ln x - x + 1$ với mọi $x > 0$.

Ta có $f’\left( x \right) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{{1 - x}}{x};f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Do đó $f\left( x \right) \le f\left( 1 \right) = 0$ với mọi $x > 0$.

Suy ra $\ln x - x + 1 \le 0$ với mọi $x > 0$.

Vậy $\ln x \le x - 1$ với mọi $x > 0$.