Bài 89 trang 138 SBT Hình 12 Nâng Cao: Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán...

Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán sau:

a) Chứng minh

$\sqrt {5x + 2}  + \sqrt {5y + 2}  + \sqrt {5z + 2}  \le 6\sqrt 3 ,$

$\forall x,y,z \ge  - {2 \over 5},x + y + z = 6.$

b) Chứng minh $\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sqrt {2 - {{\sin }^2}x}  + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} } \right| \le 3,\forall x.$

c) Tìm giá trị lớn nhất của tham số

$f(x) = \sqrt {x + m}  + \sqrt {x + n}  + \sqrt {m + n}$

Với $x,m,n \ge 0,x + m + n = 1$

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$A = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2} + 4}  + \sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2} + 1} ,$

$\forall x,y.$

e) Chứng minh:

$\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}}$

$+ \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}  \ge 2\sqrt 2 ,\forall x,y,z$

Dấu = xảy ra khi nào?

a) Xét hai vectơ :$\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( {\sqrt {5x + 2} ;\sqrt {5y + 2} ;\sqrt {5z + 2} } \right).$

Ta có $\eqalign{  & \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {5(x + y + z) + 6}  = 6,  \cr  & \overrightarrow u .\overrightarrow v  = \sqrt {5x + 2}  + \sqrt {5y + 2}  + \sqrt {5z + 2} . \cr}$

Áp dụng bất đẳng thức $\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|$ suy ra đpcm.

b) Xét hai vectơ :$\overrightarrow u  = \left( {\sin x;1;\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} } \right)$ và  $\overrightarrow v  = \left( {1;\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} ;\sin x} \right)$

Từ $\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|$ suy ra đpcm.

c) Xét hai vectơ : $\overrightarrow u  = \left( {\sqrt {x + m} ;\sqrt {x + n} ;\sqrt {m + n} } \right)$ và $\overrightarrow v  = (1;1;1).$

Ta có $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 2$, $\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 3$ suy ra $f\left( x \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v  \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 6$.

Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ cùng hướng, nghĩa là

${{\sqrt {x + m} } \over 1} = {{\sqrt {x + n} } \over 1} = {{\sqrt {m + n} } \over 1} > 0 \Leftrightarrow x = m = n > 0.$

Kết hợp với $x + m + n = 1$ suy ra $x = m = n = {1 \over 3}$

Vậy $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\sqrt 6$ khi $x = m = n = {1 \over 3}$

d) Đặt $\overrightarrow u  = \left( {x + 1;y;2} \right),$ $\overrightarrow v  = \left( { - x; - y - 1;1} \right),$ ta có $\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = {\rm{ }}\left( {1; - 1{\rm{ }};3} \right).$

Áp dụng bất đẳng thức $\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|,$ ta suy ra

$A = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} + 4}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + 1}$

$\ge \sqrt {11} .$

Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ cùng hướng, nghĩa là

                  ${{x + 1} \over { - x}} = {y \over { - y - 1}} = {2 \over 1} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {1 \over 3} \hfill \cr  y =  - {2 \over 3}. \hfill \cr}  \right.$

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt {11}$ khi $x =  - {1 \over 3},y =  - {2 \over 3}.$

e) Trong không gian Oxyz, ta lấy các điểm $A\left( {1{\rm{ }};{\rm{ 1}};{\rm{ }} - 1} \right),B\left( { - 1{\rm{ }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 1}}} \right)$ và $M(x;y;z).$ Khi đó$AB = {\rm{ }}2\sqrt 2$ và

$MA{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}} ,$

$MB{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}} .$

Từ bất đẳng thức $MA + MB \ge AB$, ta suy ra

$\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}}$

$+ \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}  \ge 2\sqrt 2 .$

Dấu = xảy ra khi M nằm giữa hai điểm A, B hay$\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow {AB}$ ,$0{\rm{ }} \le t{\rm{ }} \le 1.$

nghĩa là

$\left\{ \matrix{  x - 1 =  - 2t \hfill \cr  y - 1 = 0 \hfill \cr  z + 1 = 2t \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 1 - 2t \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr  z =  - 1 + 2t \hfill \cr}  \right.$      $0{\rm{ }} \le t{\rm{ }} \le 1.$