Câu 3.38 trang 147 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao:Cho a > 0. Chứng minh rằng...

a) Cho a > 0. Chứng minh rằng

         $\int\limits_\alpha ^\beta  {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)}$

trong đó r và k là các số thực thỏa mãn ${\rm{tan}}r = {\beta  \over a},\tan k = {\alpha  \over a}$

b) Tính $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}}$                          

Giải

a) Đặt $x = {\rm{a}}\tan u$. Khi đó

$dx = {{adu} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}},{x^2} + {a^2} = {a^2}\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right) = {{{a^2}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}}$

Theo công thức biến đổi, ta có:

$\int\limits_\alpha ^\beta  {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}}}  = \int\limits_k^r {{{du} \over a} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)}$ với $\tan r = {\beta  \over \alpha },\tan k = {\alpha  \over a}$                                  

b) Đặt $u = \tan {x \over 2}$. Khi đó $dx = {{2du} \over {1 + {u^2}}}.$Mặt khác

 $2 + c{\rm{os}}x = 2 + {{1 - {u^2}} \over {1 + {u^2}}} = {{3 + {u^2}} \over {1 + {u^2}}}$,

Vậy theo a) ta có

 $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}}  = \int\limits_0^1 {{{1 + {u^2}} \over {3 + {u^2}}}.{{2du} \over {1 + {u^2}}} = } 2\int\limits_0^1 {{{du} \over {{u^2} + 3}} = } {2 \over {\sqrt 3 }}\int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {du}$

$= {{\pi \sqrt 3 } \over 9}$