Câu 3.40 trang 147 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Đặt...

Đặt ${I_n} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^n}xdx}$. Chứng minh rằng ${I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}$. Từ đó hãy tính ${I_5}$

 Giải

 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với $u = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{n - 1}}x,v’ = c{\rm{os}}x$ suy ra

         ${I_n} = \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^{n - 2}}x.{{\sin }^2}xdx}$

Thay ${\sin ^2}x = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x$, ta có điều cần chứng minh.

Suy ra ${I_5} = {4 \over 5}{I_3} = {4 \over 5}.{2 \over 3}{I_1} = {8 \over {15}}$