Bài 1.20 trang 19 SBT Giải tích 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số...

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f(x) = -3x² + 4x – 8  trên đoạn [0; 1]

b)  f(x) = x³ + 3x² – 9x – 7  trên đoạn [-4; 3]

c) $f(x) = \sqrt {25 - {x^2}}$ trên đoạn [-4; 4]

d)  f(x) = |x² – 3x + 2| trên đoạn [-10; 10]

e) $f(x) = {1 \over {\sin x}}$ trên đoạn ${\rm{[}}{\pi  \over 3};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}$

g) $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$ trên đoạn ${\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}{\rm{]}}$

Hướng dẫn làm bài:

a) f(x) = -3x² + 4x – 8 trên đoạn [0; 1]

$\eqalign{ & f'(x) = - 6x + 4,f'(x) = 0 < = > x = {2 \over 3} \cr & f({2 \over 3}) = - {{20} \over 3},f(0) = - 8;f(1) = - 7 \cr}$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;1]} f(x) =  - 8;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;1]} f(x) =  - {{20} \over 3}$

b)  f(x) = x³ + 3x² – 9x – 7 trên đoạn [-4; 3]

$f'(x) = 3{x^2} + 6x - 9$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - 3 \hfill \cr} \right.$

Hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = 1 và f_CĐ = f(-3) = 20;  f_CT = f(1) = -12 ;

f(-4) = 13 ; f(3) = 20.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 4;3]} f(x) =  - 12;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 4;3]} f(x) = 20$

c) $f(x) = \sqrt {25 - {x^2}}$  trên đoạn  [-4; 4]

$f'(x) = {{ - x} \over {\sqrt {25 - {x^2}} }};f'(x) > 0$ trên khoảng (-4; 0) và

      f’(x) < 0  trên khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0  và f_CĐ = 5

Mặt khác, ta có  f(-4) = f(4) = 3

Vậy $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 4;4]} f(x) = 3;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 4;4]} f(x) = 5$

d) $f(x) = |{x^2} - 3x + 2|$ trên đoạn [-10; 10]

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  g(x) = x² – 3x + 2.

Ta có: 

 $g'(x) = 2x - 3;g'(x) = 0 <  =  > x = {3 \over 2}$          

Bảng biến thiên:

Vì

$f(x) = \left\{ \matrix{ g(x),{x^2} - 3x + 2 \ge 0 \hfill \cr - g(x),{x^2} - 3x + 2 < 0 \hfill \cr} \right.$

 nên ta có đồ thị f(x) như sau:

Từ đồ thị suy ra: $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 10;10]} f(x) = f(1) = f(2) = 0;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 10;10]} f(x) = f( - 10) = 132$

e) $f(x) = {1 \over {\sin x}}$ trên đoạn ${\rm{[}}{\pi  \over 3};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}$

$f'(x) =  - {{\cos x} \over {{{\sin }^2}x}},f'(x) < 0$ nên  và f’(x) > 0  trên $({\pi  \over 2};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = {\pi  \over 2}$ và ${f_{CT}} = f({\pi  \over 2}) = 1$

Mặt khác, $f({\pi  \over 3}) = {2 \over {\sqrt 3 }},f({{5\pi } \over 6}) = 2$

Vậy $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}{\pi  \over 3};{{5\pi } \over 6}]} f(x) = 1;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}{\pi  \over 3};{{5\pi } \over 6}]} f(x) = 2$

g) $f(x) = 2\sin x + \sin 2x$ trên đoạn ${\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}{\rm{]}}$

$f'(x) = 2\cos x + 2\cos 2x = 4\cos {x \over 2}\cos {{3x} \over 2}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos {x \over 2} = 0 \hfill \cr \cos {{3x} \over 2} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ x = \pi \hfill \cr x = {\pi \over 3} \hfill \cr} \right.$

Ta có: $f(0) = 0,f({\pi  \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2},f(\pi ) = 0,f({{3\pi } \over 2}) =  - 2$

Từ đó ta có :  $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}]} f(x) =  - 2;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}]} f(x) = {{3\sqrt 3 } \over 2}$.