Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).. Bài 1.28 trang 20 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12 - Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).
Hướng dẫn làm bài:
Kí hiệu cạnh góc vuông AB là x, \(0 < x < {a \over 2}\)
Khi đó, cạnh huyền BC = a – x , cạnh góc vuông kia là:
\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{(a - x)}^2} - {x^2}} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Hay \(AC = \sqrt {{a^2} - 2ax} \)
Diện tích tam giác ABC là:
\(\eqalign{
& S(x) = {1 \over 2}x\sqrt {{a^2} - 2ax} \cr
& S'(x) = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} - 2ax} - {1 \over 2}{{ax} \over {\sqrt {{a^2} - 2ax} }} = {{a(a - 3x)} \over {2\sqrt {{a^2} - 2ax} }} \cr
& S'(x) = 0 < = > x = {a \over 3} \cr} \)
Bảng biến thiên:
Tam giác có diện tích lớn nhất khi \(AB = {a \over 3};BC = {{2a} \over 3}\)