Bài 1.28 trang 20 Sách bài tập Giải tích 12: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh...

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Hướng dẫn làm bài:

Kí hiệu cạnh góc vuông AB là x, $0 < x < {a \over 2}$

Khi đó, cạnh huyền BC = a – x , cạnh góc vuông kia là:

  $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{(a - x)}^2} - {x^2}}$     

Hay $AC = \sqrt {{a^2} - 2ax}$

Diện tích tam giác ABC là:

$\eqalign{ & S(x) = {1 \over 2}x\sqrt {{a^2} - 2ax} \cr & S'(x) = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} - 2ax} - {1 \over 2}{{ax} \over {\sqrt {{a^2} - 2ax} }} = {{a(a - 3x)} \over {2\sqrt {{a^2} - 2ax} }} \cr & S'(x) = 0 < = > x = {a \over 3} \cr}$            

Bảng biến thiên:

Tam giác có diện tích lớn nhất khi $AB = {a \over 3};BC = {{2a} \over 3}$