Bài 1.50 trang 37 SBT Giải tích 12: Xác định m để hàm số (1) luôn luôn có cực đại, cực...

Cho hàm số: y = x³ + mx² – 3                                        (1)

a) Xác định m để hàm số (1) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

b) Chứng minh rằng phương trình:  x³ + mx² – 3 = 0       (2)  luôn luôn có một nghiệm dương với mọi giá trị m thuộc R.

c) Xác định m để phương trình (2) có một nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số $y = {x^3} + m{x^2} - 3$ xác định và có đạo hàm trên R.

   $y’ = 3{x^2} + 2mx = x(3x + 2m)$   

Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:

     ${x_1} = 0;{x_2} = {{ - 2m} \over 3} \ne 0$     

Muốn vậy phải có $m \ne 0$

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({x^3} + m{x^2} - 3) =  + \infty$  và  $y(0) = -3 < 0.$

Vậy với mọi m, phương trình x³ + mx² – 3 = 0  luôn luôn có nghiệm dương.

c) Phương trình  f(x) = x³ + mx² – 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) cùng dấu, tức là:

$\eqalign{ & f(0)f( - {{2m} \over 3}) > 0 \cr & \Leftrightarrow  ( - 3)( - {{8{m^3}} \over {27}} + {{4{m^3}} \over 9} - 3) > 0  \cr&\Leftrightarrow 8{m^3} - 12{m^3} + 81 > 0 \cr & \Leftrightarrow  4{m^3} < 81 \Leftrightarrow m < 3\root 3 \of {{3 \over 4}} (m \ne 0) \cr}$