Advertisements (Quảng cáo)
a) Chứng minh rằng hàm số \(y = {x \over {x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
b) Từ đó suy ra rằng
\({{\left| {a + b} \right|} \over {1 + \left| {a + b} \right|}} \le {{\left| a \right|} \over {1 + \left| a \right|}} + {{\left| b \right|} \over {1 + \left| b \right|}}\) , với mọi \(a,b \in R\)
Giải
a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} – 1\} \)
\(y’ = {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D\)
Do đó hàm số \(y = {x \over {x + 1}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
Advertisements (Quảng cáo)
b) Vì \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\) với mọi \(a,b \in R\) nên từ a) suy ra
\(f\left( {\left| {a + b} \right|} \right) \le f\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)\)
Hay
\({{\left| {a + b} \right|} \over {1 + \left| {a + b} \right|}} \le {{\left| a \right|+|b|} \over {1 + \left| a \right|}+|b|}= {{\left| a \right|} \over {1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} + {{\left| b \right|} \over {1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} \)
\(\le {{\left| a \right|} \over {1 + \left| a \right|}} + {{\left| b \right|} \over {1 + \left| b \right|}}\)