Bài 1.52 trang 37 SBT Giải tích 12: Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân...

Cho hàm số $y = {{(a - 1){x^3}} \over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x$

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với $a = {3 \over 2}$.

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:  $y = |{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}|$

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  

$\eqalign{ & y’ = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in R \cr & y = {{(a - 1){x^3}} \over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x \cr & y’ = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2 \cr}$                  .

+)Với a = 1, y’ = 2x + 1  đổi dấu khi x đi qua $- {1 \over 2}$ . Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với $a \ne 1$ thì với mọi x mà tại đó $y’ \ge 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a - 1 > 0 \hfill \cr \Delta ‘ = - 2{a^2} + 5a - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ge 2$   

(y’ = 0  chỉ tại x = -2 khi a = 2)

Vậy với $a \ge 2$  hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

$\eqalign{ & y = 0 \Leftrightarrow x{\rm{[}}{{(a - 1){x^2}} \over 3} + ax + 3a - 2] = 0 \cr & \Leftrightarrow  x{\rm{[}}(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6] = 0 \cr}$

 y = 0    có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:

$(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Muốn vậy, ta phải có: 

$\left\{ \matrix{ a - 1 \ne 0 \hfill \cr \Delta = 9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0 \hfill \cr 9a - 6 \ne 0 \hfill \cr} \right.$                                

Giải hệ trên ta được:

${{10 - \sqrt {28} } \over 9} < a < {2 \over 3};{2 \over 3} < a < 1;1 < a < {{10 + \sqrt {28} } \over 9}$

c) Khi  $a = {3 \over 2}$ thì $y = {{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}$

$y’ = {{{x^2}} \over 2} + 3x + {5 \over 2}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = - 5 \hfill \cr} \right.$      

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Vì 

$|{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}| = \left\{ \matrix{ {{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2},{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2} \ge 0 \hfill \cr - ({{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}),{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2} < 0 \hfill \cr} \right.$

Nên từ đồ thị  (C) ta suy ra ngay đồ thị hàm số: $y = |{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}|$