Cho hàm số : y = x3 – 3x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: x3 – 3x2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008).
Hướng dẫn làm bài:
a) TXĐ: D = R
Sự biến thiên:
\(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} - 6x = 3x(x - 2) \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(2; + \infty )\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = y(0) = 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = y(2) = -4.
Advertisements (Quảng cáo)
Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \)
Điểm uốn: \(y” = 6x - 6,y” = 0 \Leftrightarrow x = 1;y(1) = - 2\)
Suy ra đồ thị có điểm uốn I(1; -2)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị cắt trục hoành tại O(0; 0), A(3; 0). Đồ thị đi qua điểm B(-1; -4); C(2; -4).
b) \({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m\) (*)
Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra:
- 4 < m < 0.