Bài 1.55 trang 38 Sách bài tập Giải tích 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =...

Cho hàm số:  y = f(x) = x⁴ – 2mx² + m³ – m²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

$\eqalign{ & y = {x^4} - 2{x^2} \cr & y’ = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1) \cr & y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr x = 0 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right. \cr}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị

b) $y’ = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)$

Để  (C_m) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và y_CT = 0.

+) Nếu $m \le 0$ thì ${x^2} - m \ge 0$ với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

+) Nếu m > 0  thì y’ = 0 khi $x = 0;x =  \pm \sqrt m$ .

$\eqalign{ & f(\sqrt m ) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + {m^3} - {m^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2}(m - 2) = 0 \Leftrightarrow m = 2 \cr}$

 (do m  > 0)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.