Cho hàm số y=3(x+1)x−2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .
c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.
Hướng dẫn làm bài:
a)
b) Cách 1.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) là:
y – y0 = y’(x0)(x – x0)
Trong đó y′(x0)=−9(x0−2)2 . Ta có:
y=−9(x0−2)2(x−x0)+y0 với y0=3(x0+1)x0−2
Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là:
9x0(x0−2)2+3(x0+1)x0−2=0⇔{x0≠2x02+2x0−2=0
⇔x0=−1±√3
+) Với x0=−1+√3 , ta có phương trình tiếp tuyến: y=−32(2+√3)x
+) Với x0=−1−√3 , ta có phương trình tiếp tuyến: y=−32(2−√3)x .
Advertisements (Quảng cáo)
Cách 2.
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.
Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: y=3(x+1)x−2 và y = kx , ta giải hệ:
{3(x+1)x−2=kx−9(x−2)2=k⇔{3(x+1)x−2+9x(x−2)2=0−3(x+1)x−2=k
Giải phương trình thứ nhất ta được: x=−1±√3
Thay vào phương trình thứ hai ta có:
k1=−32(2+√3);k2=−32(2−√3)
Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: y=−32(2+√3)x và y=−32(2−√3)x
c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:
y=3(x+1)x−2⇔y=3+9x−2
Điều kiện cần và đủ để M(x,y)∈(C) có tọa độ nguyên là:
{x∈Z9x−2∈Z
tức (x – 2) là ước của 9.
Khi đó, x – 2 nhận các giá trị ±1;±3;±9 hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.
Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là: (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).