Bài 1.57 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12: Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng...

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

 $y = {{x + 2} \over {x - 3}}$                               

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).

c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.

     Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:

$\left\{ \matrix{ x = X + 3 \hfill \cr y = Y + 1 \hfill \cr} \right.$                                                          

Ta được $Y + 1 = {{X + 5} \over X} \Leftrightarrow  Y = {{X + 5} \over X} - 1 \Leftrightarrow Y = {5 \over X}$

Vì $Y = {5 \over X}$ là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.

c) Giả sử $M({x_0};{y_0}) \in (C)$ . Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:

  ${d_1} = |{x_0} - 3|,{d_2} = |{y_0} - 1| = {5 \over {|{x_0} - 3|}}$                        

Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ  ${x_0} = 3 \pm \sqrt 5$